几何关心的，是空间如何成立

从三角形进入，不能停在三角形

我整理几何笔记时，最想改变的印象是：几何只是研究三角形、圆和各种立体图形。这些对象当然重要，但它们让我继续追问，为什么某种距离公式成立，为什么某条路径被叫作直线。

公理、坐标、度量和曲率，提供了不同层次的回答。图形可以帮助看见问题，坐标可以把一部分关系写成方程；但有了坐标，不代表空间的全部性质都已经被决定。

两种距离，两条路线

在空旷平面上画一条对角线，与在街区网格里步行，是两个不同的问题。若还有单行线、坡度和时间成本，最短路线就不能只由图上的直线长度决定。用错空间模型，会得到一个计算正确、现实却无法执行的答案。

局部相似，不代表整体相同

球面附近的一小块可以用平面坐标描述，但这并不意味着球面与平面拥有完全相同的几何。局部坐标不是取消曲率；流形也不等于处处具有零曲率。原来那句“局部平坦、整体弯曲”方便记忆，却容易把拓扑层面的局部像欧氏空间，与度量性质混为一谈。

例如单位球面上，由北极和赤道上相差九十度的两点构成、沿大圆弧连接的三角形，三个内角都是直角，角和为二百七十度。欧氏平面中的三角形角和结论不能不加条件地搬来。这个简单例子让我意识到，图形的名字相同，不代表它生活在相同规则里。

空间模型决定了问题的形状

我关心几何，也因为计算机需要把空间变成可以处理的对象：坐标怎样表示，距离怎样计算，约束怎样进入路径。模型不需要复制世界的一切，但必须保留当前任务依赖的性质。

几何带给我的不是一句“万物皆空间”，而是一种先检查底层约定的习惯。当我们说两个东西相近、一个路线最短时，先问在什么空间、用什么距离、允许什么动作。把这些说明白，常常比换一个更复杂的算法更有价值。